＜2.25 極座標の微分方程式＞
今度は惑星の運動方程式を極座標を利用して解いてみましょう。
図に示すように、惑星の運動方程式は太陽の質量Mと惑星の質量mからなる万有引力で記述され、以下のようになります。
力の大きさ：
万有引力ベクトル：
運動方程式：
運動方程式を極座標ベクトルで表すと
より
よって、erとeθに分離して
．．．①
．．．②
となります。
まず、
ケプラーの第2法則、面積速度一定の法則（惑星と太陽とを結ぶ線分が単位時間に描く面積は、一定である）について考えてみましょう。
この法則は図に示すように、dtの間に太陽と惑星の描く面積（図の斜線の部分）は一定であるという法則です。
図に示すように太陽と惑星の描く微小面積dSは、
となります。
面積速度は
ですから、
ということになります。
両辺を微分すると、
となります。
ここで、②式より
ですから、上の式は
になり、
積分すれば、面積速度がC、すなわち一定であることが証明されました。
次に、ケプラーの第1法則、楕円軌道の法則（惑星は、太陽をひとつの焦点とする楕円軌道上を動く）について考えてみましょう。
面積速度一定よりそれを
とおくと、
と書けるので①式に代入し、
．．．①
．．．③
となります。
一方、面積速度一定から、
です。これを利用して、
．．．④
となりますから、③と④式より、
となるので、
とおくと
となります。
ここで、微分公式
、
より
であるので、これを代入して、
となります。
ここで、
G、
M、
は定数であるので、
ですから、
とおくと
となり、単振動と同じ式になります。従って
の解を持ち
と書くことが出来ます。
となり、
より
となり、
は楕円の極座標表示そのものとなりますから、楕円軌道であることが証明されました。
かなりごちゃごちゃしてわかりにくいように見えますが、多少の微分の公式と置き換えにより計算しているだけです。
、
、
とおくと
